Мурат Бурибаев родился в 1991 году. Имеет образование в сфере металлургии, экономики и бизнеса, а также степень магистра государственного менеджмента. Окончил Карагандинский государственный технический университет, Карагандинский экономический университет Казпотребсоюза и Академию государственного управления при Президенте Республики Казахстан.
Трудовую деятельность Мурат Бурибаев начал на производстве. В 2009 году работал флотационным рабочим 3-го разряда главного корпуса обогатительной фабрики «Нурказган» филиала ПО «Карагандыцветмет» ТОО «Корпорация «Казахмыс».
В 2011–2012 годах занимал должность делопроизводителя в административном корпусе руководства обогатительной фабрики «Нурказган», после чего работал мастером контрольного цеха главного корпуса предприятия.
В 2012–2013 годах был начальником цеха главного корпуса обогатительной фабрики «Нурказган».
В 2013–2014 годах занимал должность главного инженера обогатительной фабрики Орловского рудника ПО «Востокцветмет» ТОО «Корпорация «Казахмыс».
В 2014–2015 годах работал начальником цеха главного корпуса №2 Жезказганской обогатительной фабрики №1, 2, 3 ПО «ЖТМ».
В 2015–2017 годах возглавлял обогатительную фабрику «Нурказган» филиала «КТМ» ТОО «Корпорация «Казахмыс».
С 2017 по 2024 год Мурат Бурибаев руководил Жезказганской обогатительной фабрикой №1, 2, 3 ПО «Жезказганцветмет».
До назначения акимом Жезказгана он возглавлял город Сатпаев.
Ранее сообщалось, что Кайрат Шайжанов завершил работу на посту акима Жезказгана.